Further remarks on the explicit generating function expression of the invariant measure of critical Galton-Watson branching systems

Рассмотрим критическую ветвящуюся систему Гальтона-Ватсона с бесконечной дисперсией закона превращения одной частицы. Предлагаем аргументы, альтернативные аргументам Слейка [9], который нашел локальное выражение в окрестности точки $1$ производящей функции для инвариантных мер ветвящейся системы. Мы получаем глобальное выражение для всех $s\in[0,1)$ этой производящей функции. Устанавливаем улучшенный вариант дифференциального аналога основной леммы теории критических ветвящихся систем. Это утверждение играет ключевую роль в формулировке локальной предельной теоремы с явными членами в асимптотическом разложении локальных вероятностей. Мы также определяем скорость убывания остаточного члена в этом разложении.