A note on explicit formulas for Bernoulli polynomials

При $r\in\left \{1,-1,\frac{1}{2}\right\}$ доказаны несколько явных формул для $n$-го многочлена Бернулли $B_{n}\left(x \right)$, в котором $B_{n}\left(x \right)$ равно линейной комбинации многочленов $x^{n}$, $\left(x+r\right)^{n},\ldots,$ $\left(x+rm\right)^{n}$, где $m$ — любое фиксированное натуральное число, большее или равное $n$.