Одномодовые и двухмодовые неоднородные диссипативные структуры в нелокальной модели эрозии

Рассмотрена периодическая краевая задача для одного нелинейного уравнения с отклоняющимся пространственным аргументом в случае, когда отклонение мало. Данное уравнение называют пространственно нелокальным уравнением эрозии. Оно описывает формирование волнообразного рельефа под воздействием ионной бомбардировки и может быть проинтерпретировано как развитие известной модели Бредли–Харпера. В работе показано, что неоднородный рельеф может появиться при смене устойчивости однородными состояниями равновесия. В данной краевой задаче потеря устойчивости может происходить на высоких модах. Номер такой моды зависит от многих факторов. Например, от угла падения потока. В работе также показано, что данная нелинейная краевая задача может быть включена в класс абстрактных параболических уравнений, разрешимость задачи для которых была изучена в работах П. Е. Соболевского и предполагает использование аналитической теории полугрупп линейных ограниченных операторов. Для решения возникающих бифуркационных задач были использованы методы исследования динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий), таких как: метод интегральных многообразий, нормальных форм Пуанкаре–Дюлака, а также асимптотические методы анализа. При этом разобраны обе задачи, возможные в данной ситуации: коразмерности один и коразмерности два. В частности, были получены асимптотические формулы для решений, которые описывают неоднородный волнообразный рельеф. Изучен вопрос об устойчивости данных решений. Приведен некоторый анализ нормальной формы. Приведены также асимптотические формулы для неоднородных волнообразных решений. В заключении статьи указаны некоторые возможные интерпретации результатов, которые получены в результате анализа данной краевой задачи.