О вычислительных конструкциях в функциональных пространствах

Численное исследование различных процессов приводит к необходимости уточнения (расширения) границ применимости вычислительных конструкций и инструментов моделирования. В настоящей статье изучается дифференцируемость в пространстве интегрируемых по Лебегу функций и рассматривается согласованность этого понятия с основополагающими вычислительными построениями такими, как разложение Тейлора и конечные разности. Функцию $f$ из $L_1[a;b]$ назовём $(k,L)$-дифференцируемой в точке $x_0$ из $(a;b),$ если существует алгебраический многочлен $P,$ степени не выше $k,$ такой, что интеграл по отрезку от ${x_0}$ до ${x_0+h}$ для $f-P$ есть $o(h^{k+1}).$ Найдены формулы для вычисления коэффициентов такого $P,$ представляющие собой предел отношения интегральных модификаций конечных разностей $ {\mathbf\Delta}_h^m(f,x) $ к $ h^m , m=1, \cdots, k. $ Получается, что если $f \in W_1^{l}[a; b],$ и $f^{(l)}$ является $(k,L)$-дифференцируемой в точке $x_0,$ то $f$ приближается тейлоровским многочленом с точностью $ o\big((x{-}x_0)^{l+k}\big),$ а коэффициенты разложения могут быть найдены указанным выше способом. Для исследования функций из $L_1$ на множестве применяется дискретная «глобальная» конструкция разностного выражения: на основе частного ${\mathbf\Delta}_h^m(f, \cdot)$ и $h^m$ строится последовательность $\big\{{\mathbf\Lambda}_n^m[f]\big\}$ кусочно-постоянных функций, подчинённых разбиениям полуинтервала $[a; b)$ на $n$ равных частей. Показано, что для $(k,L)$-дифференцируемой в точке $x_0$ функции $f$ последовательности $\big\{{\mathbf\Lambda}_n^m[f]\big\}, m=1,\cdots, k, $ сходятся при $n\to \infty$ в этой точке к коэффициентам приближающего в ней функцию многочлена. С помощью $\big\{{\mathbf\Lambda}_n^k[f]\big\}$ устанавливается теорема: «$f$ из $L_1[a;b]$ принадлежит $C^k[a;b] \Longleftrightarrow $ $f$ равномерно $(k,L)$-дифференцируема на $[a;b]$». Отдельное место занимает изучение построений, соответствующих случаю $m = 0.$ Их рассматриваем в $L_1[Q_0],$ где $Q_0$ – куб в пространстве $\mathbb R^d.$ По заданной функции $ f \in L_1$ и разбиению $\tau_{n}$ полузамкнутого куба $Q_0$ на $ n^d$ равных полузамкнутых кубов построим кусочно-постоянную функцию $\Theta_n[f]$, определяемую как интегральное среднее $f$ на каждом кубе $Q \in \tau_{n}.$ Данная вычислительная конструкция приводит к следующим теоретическим фактам: {\it 1) $f$ из $L_1 $ принадлежит $L_p, 1 \le p < \infty, \Longleftrightarrow \big\{\Theta_n[f]\big\}$ сходится в $L_p;$ ограниченность $\big\{\Theta_n[f]\big\} \Longleftrightarrow f \in L_\infty;$ 2) последовательности $\big\{\Theta_n[\cdot]\big\}$ определяют на классах эквивалентности оператор-проектор $\Theta$ в пространстве $L_1;$ 3) для функции $f \in L_{\infty}$ получаем $ \overline{\Theta [f]} \in B,$ где $B$ – это пространство ограниченных функций, а $ \overline{\Theta [f]}$ – доопределённая на множестве меры ноль функция $ \Theta [f](x),$ и выполняется равенство $ \big\Vert \overline{\Theta [f]}\big\Vert_{B} = \Vert f\Vert_{\infty}.$ } Таким образом, в семействе пространств $L_p$ можно заменить $L_{\infty}[Q_0]$ на $B[Q_0].$