Сингулярные краевые задачи в теории локализации

Рассматривается нелинейная сингулярная неавтономная система четвертого порядка
\begin{gather*} xx''=\varphi(t)y,\\ (\varkappa(t)x^ry^sy')=C(t)y,\\ x(t_f)=x'(t_f)=0,\\ y(t_f)=W(t_f-0)=0,\\ x(0)=p>0,\quad y(0)>0, \end{gather*}
где $t\in I_0=[0,t_f)$, $I=[0,t_f]$, функция $W(t)=\varkappa(t)x^r(t)y^s(t)y'(t)$ непрерывна для любых $t\in I$, $r,s\in R=(-\infty,+\infty)$; $\varphi(t)$, $C(t)$, $\varkappa(t)$, $\varkappa'(t)\in C(R_+)$, $R_+=[0,\infty)$, функции $\varphi$, $\varkappa$, $C>0$ для любых $t\in R_+$.
Задача (1)–(5) возникает при изучении автомодельных обостряющихся решений уравнений газовой динамики с нелинейной теплопроводностью, обладающих свойством локализации. Для задачи Коши (1)–(4) и двухточечной краевой задачи (1)–(5) в зависимости от значений параметров $r$ и $s$ (в случае задачи (1)–(5) также в зависимости от функций $\varphi$, $\varkappa$, $C$) установлены условия существования (несуществования), единственности решений и ряд других тонких свойств.