Моделирование стохастического управления в задачах случайного блуждания

Рассматривается эффект асимптотического подавления случайных возмущений на примере уравнения теплопроводности с переменными граничными условиями. На точно решаемом примере показано, что случайное переключение граничных условий первого и второго родов в одномерном конечном стержне при ненулевом начальном условии может привести к нулевому решению уравнения теплопроводности в пределе, когда число переключений стремится к бесконечности. Эта задача связывается с двумя близкими по постановке задачами: о распределении ансамбля траекторий линейной динамической системы со случайными переключениями и о построении решения уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом. Общий подход к решению таких задач состоит в построении численного алгоритма, моделирующего эволюцию плотности функции распределения системы при случайных переключениях при закрепленных концах, когда известно новое состояние, но не известен момент переключения. При переключении коэффициента теплопроводности происходит мгновенное изменение параметра уравнения. В более общем подходе переход осуществляется между распределениями. Приведен пример применения численного алгоритма моделирования ансамбля траекторий к построению распределения решения уравнений со случайными переключениями. При этом рассмотрено две ситуации – когда распределение случайного параметра (например, коэффициента теплопроводности) стационарно, а также для нестационарного случая. Такой подход позволяет численно определить область допустимых вариаций распределения случайных параметров, при которых решение стохастического уравнения лежит в определенных пределах, что представляет практический интерес.