Critical points of functions, $\mathfrak{sl}_2$ representations, and Fuchsian differential equations with only univalued solutions

Предположим, что фуксово дифференциальное уравнение второго порядка имеет только однозначные решения. Предположим, что особыми точками уравнения являются точки $z_1,\dots,z_n$ и бесконечность с соответствующим экспонентами $(\rho_{1,1},\rho_{2,1}),\dots,(\rho_{1,n}\rho_{2,n})$. Тогда оказывается, что при общих $z_1,\dots, z_n$ число таких фуксовых уравнений равно кратности вхождения неприводимого $\mathfrak{sl}_2$-представления размерности $|\rho_{2,\infty}-\rho_{1,\infty}|$ в тензорное произведение неприводимых $\mathfrak{sl}_2$-представлений размерностей $|\rho_{2,1}-\rho_{1,1}|,\dots,|\rho_{2,n}-\rho_{1,n}|$. Для доказательства этого факта мы вычисляем число критических точек подходящей функции, играющей центральную роль в конструкции гипергеометрических решений уравнения Книжника–Замолодчикова, ассоциированного с $\mathfrak{sl}_2$, и конструкции Бете-векторов в модели Годена, ассоциированной с $\mathfrak{sl}_2$. В качестве подобного продукта этого исследования мы заключаем, что Бете векторы составляют базис в пространстве состояний неоднородной модели Годена, ассоциированной с $\mathfrak{sl}_2$.