Twisted character of a small representation of ${\rm PGL}(4)$

Используя методы локального анализа, вычислен эллиптический $\theta$-подкрученный характер $\chi_\pi$ представления $\pi=I_{(3,1)} (1_3)$ группы ${\rm PGL}(4, F)$, где $F$ – поле $p$-адических чисел, $\theta$ – автоморфизм порядка два группы $G={\rm PGL}(4, F)$, $\pi$ – представление группы ${\rm PGL}(4,F)$, индуцированное с тривиального представления максимальной параболической подгруппы типа $(3,1)$. Пусть $C=\{(g_1,g_2)\in {\rm GL}(2)\times {\rm GL}(2)\colon\det(g_1)=\det(g_2)\}/\mathbb G_m$ ($\mathbb G_m$ отображается в диагональные матрицы) – $\theta$-подкрученная эллиптическая эндоскопическая группа в ${\rm PGL}(4)$. Мы заключаем на основании вычислений, что $\chi_\pi$ – неустойчивая функция, которая принимает противоположные значения на подкрученных эллиптических классах смежности с нормой в $C=C(F)$ и равна нулю на классах сопряженности, для которых норма в $C$ не существует. Кроме того, $\pi$ – неустойчивое эндоскопическое представление, поднятое с тривиального представления группы $C$. Естественно, что это вычисление играет роль в теории поднятия представления с групп $C$ (=“SO(4)”) и ${\rm PG}_p(2)$ до $G={\rm PGL}(4)$ при помощи формулы следа.
Данная работа развивает четырёхмерный аналог модели для малого представления группы ${\rm PGL}(3,F)$, рассмотренной совместно с Кажданом в трехмерном случае. В этой статье мы используем классификацию подкрученных (устойчивых и неустойчивых) регулярных классов сопряженности группы ${\rm PGL}(4,F)$. Также в данной работе развивается локальный метод, введенный ранее Зиновьевым и Фликером. В нашей последующей работе мы используем разработанные здесь методы для представления ${\rm GL}(4,F)$ с нетривиальным характером.