The Klein quartic as a cyclic group gene

Пусть $k$ – поле, и пусть заданы три элемента $a$, $b$, $c$ в $k^X$. Неособая проективная плоская кривая $X$ над $k$, заданная уравнением
$$ ax^3y+by^3z+cz^3x=0 $$
имеет род 3 и сводится к известной квартике Клейна при $a=b=c=1$. Якобиан $J_X$ кривой $X$ представляет собой трехмерное абелево многообразие, также определенное над $k$. В статье даны некоторые формулы для числа точек группы $J_X(k)$ рациональных точек якобиана $J_X$ для случая, когда $k=\mathbb F_q$ – конечное поле. Предполагается, что полная группа корней седьмой степени из единицы содержится в $k$; это эквивалентно тому, что $q\equiv 1$ (mod 7). Подмечено, что если $q$ простое, а коэффициенты $a$, $b$, $c$ выбраны подходящим образом, то число точек группы $J_X(k)$ простое в значительном числе случаев. Отсюда получаются циклические группы, которые представляются пригодными для приложений в криптографии.