Lower bounds for transversal complexity of torus bundles over the circle

Сложность $c(M^3)$ трехмерного многообразия $M^3$ (введенная С. В. Матвеевым в 1988 году) – это минимальное число вершин почти простого спайна многообразия $M^3$; во многих случаях (но не всегда) сложность 3-многообразия равняется минимальному числу тетраэдров в его сингулярной триангуляции. Нахождение адекватных верхних оценок сложности данного многообразия, как правило, не вызывает затруднений, но задача об оценке снизу до сих пор остается почти неприступной. В статье рассмотрены многообразия, расслоенные над окружностью со слоем тор. Для них введено понятие трансверсальной сложности ${\rm tc}(M^3)$ (т.е. допускаются лишь спайны, трансверсальные ко всем слоям). Дана нижняя оценка величины ${\rm tc}(M^3)$ в терминах монодромии расслоения; задача сводится к геометрическому изучению действия модулярной группы на разбиении Фарея плоскости Лобачевского, что, в свою очередь, дает естественную конструкцию псевдоминимальных спайнов рассматриваемых многообразий. В заключительном параграфе обсуждаются возможные приложения предложенных в статье идей и методов к другим классам 3-многообразий.