On universal norm elements and a problem of Coleman

Пусть $\bigcup_{n \ge 0} k_n$  — циклотомическое $\mathbb Z_p$-расширение числового поля $k$. В 1985 году Р. Колман поставил вопрос, конечен ли фактор группы $ ( \bigcap_{n\ge 0} N_{k_n/k} k_n^\times) \cap U_k$ (группа единиц поля $k$, являющихся нормами элемента промежуточного поля $k_n$ для каждого $n$) по подгруппе $\bigcap_{n\ge 0} N_{k_n/k}U_n$, состоящей из единиц, являющихся нормой единицы из промежуточного поля $k_n$ для всех $n$. Мы исследуем задачу Колмана (как для глобальных единиц, так и для $p$-единиц) с помощью интерпретации гипотезы Кузьмина – Гросса. Колман утверждает, что конечность этой факторгруппы следует из гипотез Леопольдта и Кузьмина – Гросса при выполнении некоторого слабого дополнительного условия. Мы усиливаем результат Колмана, доказывая, что конечность следует из одной только гипотезы Кузьмина – Гросса, без гипотезы Лепольдта (с тем же слабым дополнительным условием).