Cyclic isogenies for abelian varieties with real multiplication

Мы исследуем факторы главнополяризованных абелевых многообразий с вещественным умножением по конечным подгруппам, устойчивым относительно действия группы Галуа, и выясняем, в каких случаях такие факторы допускают главную поляризацию. С помощью этой характеризации мы строим алгоритм, позволяющий явным образом вычислить циклические изогении исходя из их ядер для обыкновенных и простых абелевых многообразий над конечным полем. Наш алгоритм полиномиален по логарифму порядка конечного поля и по степени изогении; он основывается на мамфордовской теории тэта-функций. Недавно этот алгоритм был успешно применен к получению новых результатов в проблеме дискретного логарифма в роде 2, а также к исследованию проблемы дискретного логарифма в роде 3.