Characteristic space of orbits of Morse–Smale diffeomorphisms on surfaces

Классический подход к изучению динамических систем состоит в представлении динамики системы в виде «источник-сток», то есть в выделении пары аттрактор-репеллер, которые являются притягивающими и отталкивающими множествами для всех остальных траекторий системы. Если удается выбрать эту пару так, что пространство орбит в ее дополнении (характеристическое пространство орбит) является связным, то это создает предпосылки для нахождения полных топологических инвариантов динамической системы. Известно, что такая пара всегда существует для произвольных диффеоморфизмов Морса – Смейла, заданных на любых многообразиях размерности $n \geqslant 3$. При этом для $n=2$ существование связного характеристического пространства доказано лишь для сохраняющих ориентацию градиентно-подобных (без гетероклинических точек) диффеоморфизмов, заданных на ориентируемой поверхности. В настоящей работе конструктивно показано, что нарушение хотя бы одного из перечисленных условий (отсутствие гетероклинических точек, ориентируемость поверхности, ориентируемость диффеоморфизма) приводит к существованию диффеоморфизмов Морса – Смейла на поверхностях, не обладающих связным характеристическим пространством орбит.