The combinatorial geometry of singularities and Arnold's series $E$, $Z$, $Q$

В статье рассматриваются дискретные кокомпактные подгруппы односвязной группы Ли $\widetilde{\rm SU}(1,1)$. Форма Киллинга индуцирует на $\widetilde{\rm SU}(1,1)$ структуру трехмерного лоренцева многообразия. Дается описание пространственных форм Лоренца ${\rm\Gamma}\setminus\widetilde{\rm SU}(1,1)$ при помощи фундаментальных областей для подгруппы $\Gamma$, являющихся многогранниками с тотально геодезическими гранями. Описывается конструкция таких фундаментальных областей для всех подгрупп $\Gamma$, удовлетворяющих следующим условиям: пересечение $\Gamma$ с центром группы $\widetilde{\rm SU}(1,1)$ является подгруппой конечного индекса, и $\overline\Gamma=\Gamma/\Gamma\cap{\rm Z}$ имеет неподвижную точку порядка большего, чем уровень $\Gamma$, в гиперболической плоскости. Конструкция зависит как от подгруппы $\Gamma$ так и от выбора орбиты $\Gamma u$.
Лоренцева пространственная форма $\Gamma\setminus\widetilde{\rm SU}(1,1)$ является краем окрестности квазиоднородной особенности Горенштейна. Серии Арнольда $E$, $Z$, $Q$, в частности, состоят из таких особенностей. Вычисляются фундаментальные области для дискретных подгрупп, соответствующих особенностям из этих серий. Комбинаторная геометрия пространственных форм одинакова в каждой из серий и связана с классическими регулярными многогранниками.