On the formality of nearly Kähler manifolds and of Joyce's examples in $\mathrm{G}_2$-holonomy

Известная гипотеза, относящаяся к римановой геометрии и алгебраической топологии, утверждает, что все односвязные компактные многообразия со специальной группой голономий должны быть формальными пространствами, т. е. их рациональный гомотопический тип выводится из их алгебры рациональных когомологий, что является замечательным свойством с точки зрения рациональной теории гомотопий. Особый интерес сейчас представляют исключительные группы голономий $\mathrm{G}_2$ и $\mathrm{Spin}(7)$. В этой статье мы предлагаем метод, позволяющий подтвердить, что знаменитые примеры пространств Джойса с группой голономий $\mathrm{G}_2$ являются формальными пространствами; мы конкретно проведем это вычисление для одного примера, который может послужить основой для остальных примеров Джойса (потенциально также для группы голономий $\mathrm{Spin}(7)$). Этим соображениям предшествует другой результат, устанавливающий формальность многообразий со специальными структурами: мы доказываем формальность многообразий, близких к кэлеровым. Связь между этими двумя результатами можно найти в том факте, что многообразия со специальными группами голономий и многообразия, близкие к кэлеровым, естественным образом обобщают компактные кэлеровы многообразия, формальность которых представляет собой классическую и знаменитую теорему Делиня – Гриффитса – Моргана – Салливана.