Cohomological rigidity of manifolds with torus actions: I

Мы изучаем вопрос о когомологической жесткости для двух классов многообразий с действием тора: многообразий «момент-угол», теория которых связана с комбинаторной геометрией и комбинаторной коммутативной алгеброй, и топологических торических многообразий, являющихся топологическим обобщением торических многообразий. Мы доказываем, что если симплициальная сфера удовлетворяет некоторым комбинаторным условиям, то соответствующие многообразия «момент-угол» и топологические торические многообразия являются когомологически жесткими, т. е. их классы гомеоморфизма в соответствующих семействах определяются их кольцами когомологий. Для торического многообразия кольцо когомологий определяет его даже с точностью до изоморфизма. Наш основной метод состоит в том, чтобы показать, что комбинаторный тип таких симплициальных сфер определяется $\mathrm{Tor}$-алгеброй их колец граней. Оказывается, что это решает для класса сфер известную задачу из комбинаторной коммутативной алгебры.