Разложение $C_p(X)$ в счетное объединение подпространств с “хорошими” свойствами влечет “хорошие” свойства $C_p(X)$

Доказано, в частности, что если $C_p(X)=\bigcup\{C_n;\quad\in\omega\}$, причем $C_n$ обладает свойством $\mathcal P$ для всех $n\in\omega$ и $\mathcal P\in$ {наследственный $\pi$-характер $\leq\tau$, псевдохарактер $\leq\tau$, полнота по Чеху, теснота $\leq\tau$, свойство Фреше–Урысона}, то тогда $C_p(X)$ обладает свойством $\mathcal P$.
Доказано, что если $C_p(X)$ гомеоморфно ретракту множества типа $G_{\delta\sigma}$ в $\mathbb Z^{\tau}$, то $X$ дискретно.