Расширения пространства непрерывных функций и их применение к исследованию задачи Дирихле

Основным содержанием настоящей работы является обзор результатов, относящихся к различным определениям решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка, условиям разрешимости и свойствам решений. Статья содержит и новые результаты в этом направлении. Обсуждаются также нерешённые вопросы. За почти два века, которые прошли с постановки К. Гауссом задачи Дирихле для уравнения Лапласа (1828 г.), этому определению, которое сейчас называется классическим, и различным его обобщениям посвящены исследования многих известных математиков, получено большое количество интересных и важных, ставших уже классическими результатов. Тем не менее, целью данной статьи является убедить читателя в том, что в этой «основной» задаче математической физики далеко не всё известно и что этому направлению исследований следует уделить серьёзное внимание.
Ограничимся изложением результатов в простейшем случае: в случае ограниченной области $Q \subset \mathbf{R}_{\kern1pt n}$ и линейного эллиптического уравнения второго порядка без младших членов. Условия на коэффициенты $(a_{i\kern1pt j}(x))$ уравнения, правая часть $f$, область $Q$ и заданная на её границе $\partial Q$ функция $u_0$ зависят от рассматриваемого определения решения и будут обсуждены далее. Большинство приведённых в работе результатов справедливы и в случае общего уравнения второго порядка, но рамки статьи вынуждают ограничиться только теми из них, которые тесно связаны с основной нитью изложения, более полный обзор остальных работ в этом направлении можно найти, например, в [1]. Библиография: 50 названий.