О некоторых "треугольных" кониках

В статье изучаются коники, проходящие через точки, выбранные специальным образом относительно данного треугольника. В последнее время эта тематика стала очень популярной. Новый импульс ее развитию придали гипотезы Штейнгарца об эллипсах, опубликованные в [1, 2]. Некоторые из них опровергнуты, а некоторые доказаны, в частности, в статье [3], опубликованной в предыдущем номере нашего журнала. Изложение специального "механического" метода доказательства, при помощи которого можно доказать одну из гипотез, а также получить ряд других планиметрических результатов, содержится в [4].
Теоремы 4.1 и 4.2 настоящей статьи получены совместно с Д.С. Григорьевым, учащимся 11 класса Московского Химического Лицея № 1303.
Конец доказательства в тексте помечается значком $\Box$. Для котангенса используется международное обозначение $\cot$, в отличие от принятого в России $\mathrm{ctg}$.
Статья печатается с продолжением.