Сумма обратных квадратов

В этой заметке мы рассказываем о том, как можно разными способами найти значение суммы
$$ 1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\frac1{25}+\dotsb. $$
Вероятно, все изложенные здесь способы являются известными. Да и попытки устроить ревизию в этом хозяйстве уже тоже предпринимались.
Толчком к написанию этого текста послужило наблюдение, изложенное в параграфе 7, пополнению коллекции доказательств сильно помогли статья [12] и дискуссии в [18].