Ширина многоугольника

Если вырезанный из картона выпуклый многоугольник можно, непрерывно двигая по столу, протащить между двумя гвоздями, вбитыми в стол на расстоянии 1, то тогда его можно протащить и между гвоздями, вбитыми на расстоянии $r>1$. Верно ли то же самое и для любого невыпуклого многоугольника, — например, для такого, как на рис. 1?
Библиография: 2 названия.