Эта публикация цитируется в
1 статье
Локальная предельная теорема для момента достижения случайным блужданием фиксированного уровня
А. А. Могульскийab a Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, РОССИЯ
b Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск, РОССИЯ
Аннотация:
Пусть
$X,X(1),X(2),\dots$ – независимые случайные величины с одинаковым распределением, нулевым средним и конечной положительной дисперсией. Положим
$S(n)=X(1)+\dots+X(n)$,
$n=1,2,\dots$, и определим момент
$\eta_y=\inf\{n\ge1\colon S(n)\ge y\}$ первого прохождения уровня
$y\ge0$ блужданием
$S(n)$,
$n=1,2,\dots$. В [5] для случая
$\mathbb E|X|^3<\infty$ получено соотношение $\mathbb P(\eta_0=n)=\frac1{n\sqrt n}(R+\nu_n+o(1))$,
$n\to\infty$, где константа
$R$ и ограниченная числовая последовательность
$\nu_n$ найдены в явном виде; получены также необходимые и достаточные условия существования предела $H(y):=\lim_{n\to\infty}n^{3/2}\mathbb P(\eta_y=n)$ для любого фиксированного
$y\ge0$ и предложено представление для функции
$H(y)$. Появление настоящей работы вызвано следующими обстоятельствами. Оказалось, что ранее в работах [8; 9], которые по непростительному недосмотру авторов статьи [5] не были приняты во внимание, приведенные выше соотношения сходимости были получены при более широких предположениях, а именно, в [8] утверждалось существование предела
$\lim_{n\to\infty}n^{3/2}\mathbb P(\eta_y=n)$ для любого фиксированного
$y\ge0$ при выполнении лишь условия $\mathbb EX^2<\infty$; в [9] был найден явный вид предела
$\lim_{n\to\infty}n^{3/2}\mathbb E(\eta_0=n)$ при
том же условии $\mathbb EX^2<\infty$ для случая, когда слагаемое $X$ имеет арифметическое распределение. В настоящей работе показано, что основное утверждение в [8] является ошибочным, и доказана верная версия этого утверждения (эта версия сформулирована в [5] в качестве гипотезы).
Ключевые слова и фразы:
случайное блуждание, момент первого достижения фиксированного уровня, решетчатое распределение, нерешетчатое распределение, локальная теорема.
УДК:
519.21 Статья поступила: 24.01.2007