Задачи Штурма–Лиувилля в весовых пространствах в областях с негладкими ребрами. I

В работе рассматриваются (вообще говоря, некоэрцитивные) смешанные задачи в ограниченной области $\mathcal{D}$ из $\mathbb{R}^n$ для эллиптического дифференциального оператора $A(x,\partial)$ второго порядка в частных производных. Предполагается, что оператор записан в дивергентной форме в $\mathcal{D}$, граничный оператор $B(x,\partial)$ задается сужением линейной комбинации функции и ее производных на $\partial\mathcal{D}$, а граница $\mathcal{D}$–липшицева поверхность. Выделяется замкнутое множество $Y\subset\partial\mathcal{D}$ и контролируется рост решений вблизи $Y$. Доказывается, что пара $(A,B)$ индуцирует фредгольмов оператор $L$ в подходящих весовых пространствах соболевского типа, где вес является степенью расстояния до особого множества $Y$. Наконец, доказывается полнота корневых функций, ассоциированных с оператором $L$.
Работа состоит из двух частей. Первая часть, представленная данной статьей, посвящена изложению теории специальных весовых пространств Соболева–Слободецкого в липшицевых областях. Получены теоремы о свойствах этих пространств, а именно, теоремы об интерполяции этих пространств, теоремы вложения и теоремы о следах. Изучены также свойства весовых пространств, определяемых некоторыми, вообще говоря, некоэрцитивными формами.