Эта публикация цитируется в
3 статьях
Положительная определенность комплексной кусочно-линейной функции и некоторые ее применения
В. П. Заставный,
А. Д. Манов Донецкий национальный университет
Аннотация:
Для заданных
$\alpha\in(0,1)$ и
$c=h+i\beta$,
$h,\beta\in\mathbb R$,
функция
$f_{\alpha,c}\colon\mathbb R\to\mathbb C$
определяется следующим образом:
1)
$f_{\alpha,c}$ является
эрмитовой, т.е.
$f_{\alpha,c}(-x)=\overline{f_{\alpha,c}(x)}$,
$x\in\mathbb R$;
2)
$f_{\alpha,c}(x)=0$ при
$x>1$, а на
каждом отрезке
$[0,\alpha]$ и
$[\alpha,1]$
функция
$f_{\alpha,c}$ является линейной и
$f_{\alpha,c}(0)=1$,
$f_{\alpha,c}(\alpha)=c$,
$f_{\alpha,c}(1)=0$.
В статье
доказано, что комплексная кусочно-линейная функция
$f_{\alpha,c}$ является положительно определенной
на
$\mathbb R$ тогда и только тогда, когда
$$
m(\alpha)\le h\le 1-\alpha\quad \text{и}\quad |\beta|\le\gamma(\alpha,h),
$$
где
$$
m(\alpha)=
\begin{cases}
0, &\text{если } 1/\alpha\notin\mathbb N,
\\
-\alpha, &\text{если }1/\alpha\in\mathbb N.
\end{cases}
$$
Если
$m(\alpha)<h<1-\alpha$ и
$\alpha\in\mathbb Q$,
то
$\gamma(\alpha,h)>0$; в остальных случаях
$\gamma(\alpha,h)=0$. С помощью этого результата получен
критерий вполне монотонности функций специального вида
и доказано точное неравенство для тригонометрических
многочленов.
Библиография: 25 названий.
Ключевые слова:
положительно определенная функция,
кусочно-линейная функция, вполне монотонная функция,
теорема Бохнера–Хинчина, неравенство Бернштейна.
УДК:
517.5+
519.213 Поступило: 22.02.2017
Исправленный вариант: 23.05.2017
DOI:
10.4213/mzm11563