Замечание о гипотезе Шеня для групп с заданным типом одинаковых порядков

Пусть $G$ – группа. Определим отношение эквивалентности $\sim$ на $G$ следующим образом: $x\sim y$, $x,y\in G$, если $x$ и $y$ имеют одинаковый порядок. Множество размеров классов эквивалентности по этому отношению называется типом одинаковых порядков группы $G$. Пусть $s_{k}(G)$ и $\pi_{e}(G)$ – число элементов порядка $k$ и множество порядков элементов конечной группы $G$ соответственно. Шень (2012) выдвинул следующую гипотезу: пусть $G$ – группа порядка $p^{l}$ с типом одинаковых порядков $\{1,m,n\}$, и пусть $|\pi_{e}(G)|>3$. Если $p=2$ и $s_{2^{i}}(G)\neq0$ при $i\geqslant2$, то $s_{2^{i}}(G)=2^{l-2}$. Если $p>2$, то такой группы не существует. В данной статье мы даем частичный ответ на эту гипотезу. Точнее, для $p=2$ мы строим опровергающий гипотезу контрпример, а для $p>2$ показываем, что гипотеза верна для конечных $p$-групп класса нильпотентности меньше $p$.
Библиография: 7 названий.