Кривые Пеано и модули непрерывности

Основным результатом работы является следующая
Теорема. {\it Для любой неубывающей на $[0,\infty)$ четной функции $\varphi$ и любой измеримой, конечной почти всюду на $[0,1]^N$ функции $f$ при всех $\delta_i\in(0,1]$ ($i=1,\dots,N$),
\begin{equation} \iint_A\varphi(f^*(s)-f^*(t))\,ds\,dt\leqslant\iint_B\varphi(f(x)-f(y))\,dx\,dy \end{equation}
где $f^*$ – невозрастающая перестановка функции $f$,
\begin{gather*} A=\{(s,t)\in[0,1]^2:|s-t|\leqslant\delta_1\dots\delta_N/4^N\},\\ B=\{(x,y)\in[0,1]^{2N}:|x_i-y_i|\leqslant\delta_i\quad (i=1,\dots,N)\}. \end{gather*}
}
Гипотеза о справедливости этой теоремы принадлежит П. Освальду. В случае $\delta_1=\ldots=\delta_N$ неравенство (1) было доказано С. Милне. Из (1) выводятся оценки модуля непрерывности $\omega_p(f^*;\delta)$ перестановки через полный модуль непрерывности $\omega_p(f^*;\delta_1,\dots,\delta_N)$ функции $f$:
$$ \omega_p(f^*;\delta)\leqslant c_p\overline\omega_p(f;\delta)\quad (0\leqslant \delta\leqslant1), $$
где $\overline\omega_p(f;\delta)=\displaystyle\inf_{\delta_1\ldots\delta_N=\delta} \omega_p(f^*;\delta_1,\dots,\delta_N)$, $0<p<\infty$.
При $1\leqslant p<\infty$ эта оценка была доказана другими методами П. Освальдом; вопрос о ее справедливости при $0<p<1$ оставался открытым.
Библиогр. 9 назв.