О точном значении полной тригонометрической суммы с показательной функцией

Рассматривается тригонометрическая сумма вида
$$ S(a,q:b,p^{\alpha})=\sum_{x=1}^{\tau_{\alpha}}\exp \biggl(2\pi\tau\biggl(\dfrac{aq^x}{p^{\alpha}}+\dfrac{bx}{\tau_{\alpha}}\biggr)\biggr) $$
где $p$ – нечетное простое, $a,b,q$ – целые и притом такие, что $(a,b,p)=1$ и $(q,p)=1$; $\tau_{\alpha}$ – порядок $q$ по $\mod p^{\alpha}$. Методом $p$-адических изометрий найдено точное значение этой суммы, выраженное с помощью суммы Гаусса 2-го порядка. Библиогр. 5 назв.