О нулях рядов по системе Радемахера

В работе рассматриваются ряды по ортонормированной системе Радемахера $\{r_n(x)\}$.
Пусть
$$ a_i\to0,\quad \sum|a_i|=+\infty\text{ и }M=\{x:\sum a_ir_i(x)=0\}. $$

Тогда, если $\sum b_ir_i(x)=0$ на $M$, то существует постоянная $C$ такая, что для любого $n$ $b_n=Ca_n$.
Для любого множества положительной меры $P\subset[0,1]$ существует счетное множество $X\subset P$ такое, что для любой перестановки $\sigma$ из сходимости на $X$ ряда $\sum a_nr_{\sigma(n)}(x)$ к нулю следует, что $a_i=0$, начиная с некоторого номера, и $\sum a_nr_{\sigma(n)}(x)=0$ на $P$.
Для любой последовательности $\{a_i\}$ из некоторого класса $(\mathfrak M_r)$ существуют счетное множество $X\subset[0,1]$ и перестановка $\sigma$ такие, что $\sum a_nr_n(x)=0$ на $X$ и из $\sum b_nr_{\sigma(n)}(x)=0$ на $X$ следует, что
$$ \sum|b_n|=0. $$

Существуют счетное множество $X\subset[0,1]$ и последовательность
$$ \{a_k\}\in l_p\quad (p>1;\sum|a_k|\ne0) $$
такие, что $\sum a_kr_k(x)=0$ на $X$ и, если $\{b_k\}\in\cup_{q<p^l_q}$ и $\sum b_kr_k(x)=0$ на $X$, то $\sum|b_k|=0$. Библ. 3 назв.