О среднем для суммы элементов по одному классу конечных непрерывных дробей

Подсчитывается асимптотика для суммы $H(N)$ элементов всех непрерывных дробей чисел вида $k/N=[0;a_1(k,N),\dots,a_{l(k,N)}(k,N)]$ при $1\leqslant k\leqslant N$, $(k,N)=1$,
$$ H(N)=\sum_{1\leqslant k\leqslant N,(k,N)=1}\sum_{1\leqslant i\leqslant l(k,N)}a_i(k,N). $$
Доказывается, что $H(N)=\varphi(N)+s(N)$, где $\varphi$ – функция Эйлера, a $s(N)$ – число решений уравнения $N=xx'+yy'$ в натуральных числах с условием взаимной простоты $(x,y)=(x',y')=1$. Отсюда выводится, что
$$ H(N)=6\pi^{-2}\varphi(N)\ln^2N+A_1\varphi(N)\ln N+A_2\varphi(N)+A_3\varphi(N)\Sigma_{p|N^{p(p-1)^{-2}}}(1-p^{-\alpha(p)})\ln^2p+O(N^{7/8+\varepsilon}). $$
Здесь сумма берется по простым делителям $N$, а $\alpha(p)$ – степень, с которой простое $p$ входит в каноническое разложение $N$. Библ. 10 назв.