Операторы, перестановочные с интегрированием в пространствах функций, аналитических в односвязных областях

Пусть $G$ – односвязная область в $\mathbf C$, $0\in G$, $D^*$ – множество таких точек $z$ из $G$ что точки $0$ и $z$ лежат в одной связной компоненте открытого множества $G\cap(z-G)$. Пусть $A(G)$ – пространство функций, регулярных в $G$, с топологией равномерной сходимости в на компактах в $G$, $\varkappa(G)$ – множество функций $a(z)$ из $A(G)$, для которых оператор
\begin{equation} (L_ay)(z)=a(0)y(z)+\int_{[0,z]}a'(t)y(z-t)\,dt,\quad |z|<\rho(0,CG), \tag{1} \end{equation}
продолжается до линейного непрерывного оператора из $A(G)$ в $A(G)$.
Теорема 1. Линейный непрерывный оператор $L$ из $A(G)$ в $A(G)$ перестановочен с интегрированием $(\mathscr Yy)(z)=\int_{[0,z]}y(t)\,dt$ тогда и только тогда, когда в круге $|z|<\rho(0,CG)$ функция $(Ly)(z)$, $\forall\,y\in A(G)$, представима в виде (1), где $L1)(z)=a(z)=\varkappa(G)$.
Теорема 2. $\varkappa(G)=A(G)$ тогда и только тогда, когда $G=G^*$.
Библ. 4 назв.