Пример негипоэллиптического оператора второго порядка, обладающего свойством глобальной гипоэллиптичности

Доказывается, что оператор
$$ P\equiv-\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}-\sum_{k=2}^n\frac{\partial}{\partial x_k}\varphi^2(x)\frac\partial{\partial x_k}, $$
где $\varphi(x)\in C^\infty(\Omega)$ ($\Omega$ — область в $\mathbf{R}^n$), $\{x: \varphi(x)=0\}$ — компакт в $\Omega$, являющийся замыканием своих внутренних точек, обладает свойством глобальной гипоэллиптичности в $\Omega$, т. е.
$$ v\in D'(\Omega),\qquad Pv\in C^\infty(\Omega)\Longrightarrow v\in C^\infty(\Omega). $$
Этот оператор не является гипоэллиптическим. Библ. 2 назв.