Spectral analysis of two-particle Hamiltonians with short-range interactions

Мы анализируем спектральные характеристики решеточных операторов Шрёдингера $H_{\gamma\lambda\mu}(K)$, $K\in(-\pi,\pi]^3$, которые представляют систему двух идентичных бозонов, расположенных на решетке $\mathbb{Z}^3$. Модель включает в себя взаимодействия на узлах решетки и взаимодействия ближайших соседей, параметризованные $\gamma,\lambda,\mu\in\mathbb{R}$. Наше исследование оператора $H_{\gamma\lambda\mu}(0)$ выявляет инвариантное подпространство, на котором его ограниченная форма $H_{\lambda\mu}^{\mathrm{ea}}(0)$ зависит исключительно от $\lambda$ и $\mu$. Чтобы прояснить механизмы рождения и уничтожения собственных значений для $H_{\lambda\mu}^{\mathrm{ea}}(0)$, мы определяем критический оператор. Впоследствии на плоскости, натянутой на $\lambda$ и $\mu$, разрабатывается подробный критерий, который включает: (i) вывод гладких критических кривых, которые отмечают наступление критичности для оператора, и (ii) доказательство точных условий существования именно $\alpha$ собственных значений ниже и $\beta$ собственных значений выше существенного спектра, где $\alpha,\beta\in\{0,1,2\}$ и $\alpha+\beta\le2$.