Аннотация:
Исследуется нелинейная динамика случайно-неоднородной упругой среды. Под
случайно-неоднородными средами мы понимаем композиционные материалы, гранулированные материалы,
пористые горные породы с хаотическим расположением компонент. Для описания такой среды
необходимо перейти от эйлеровых координат к лагранжевым координатам. В качестве тензора
напряжений в этом случае выступает лагранжев тензор (тензор Пиолы–Кирхгофа). Он несимметричен
и определяется производной от энергии системы не по симметричному тензору деформации, а по
дилатации, т. е. по градиенту вектора смещений. Нами использован наиболее простой, на наш
взгляд, подход к лагранжеву описанию, разработанный в модели Ландау–Лифшица.
В данной работе подход Ландау–Лифшица обобщается на нелинейную случайно-неоднородную упругую
среду. Соответственно, уравнения движения содержат случайные зависящие от координат
коэффициенты. В работе рассмотрено влияние начальных напряжений и конечных деформаций на
колебания среды в окрестности областей с большими начальными напряжениями. Получены уравнения
распространения волн в окрестности напряженной области. Эти уравнения вследствие случайной
неоднородности среды описывают не только распространение волн, но содержат и все многократные
отражения волн от неоднородностей.
Для усреднения в работе используется диаграммная техника Фейнмана. Эта техника позволяет
получить точное уравнение для усредненного упругого поля, описывающего когерентное
распространение волн с учетом многократного рассеяния. Это уравнение является
интегро-дифференциальным. Его ядро (корреляционный оператор) содержит вклад от корреляционных
функций случайных неоднородностей всех порядков. Этот оператор непосредственно определяет
скорости продольной и поперечных волн в случайно-неоднородной упругой среде. Эти скорости
зависят от начальных напряжений и наш подход позволяет приближенно вычислить эту зависимость. В обратном случае, экспериментально измеряемые скорости звука в окрестности напряжений, близких
к критическим для разрушения вещества, позволяют определить состояние напряженной среды и ее
эффективные параметры. В данной работе обратная задача не рассматривается, мы ограничимся только
выводом основных уравнений, позволяющих поставить эту обратную задачу.