О двух определениях степени функции над ассоциативным коммутативным кольцом

Пусть $R$ – ассоциативное коммутативное кольцо и $\varphi\colon R^m\to R$, где $m\ge0$. Обозначим через $\deg_\Pi\varphi$ наименьшее число $n\ge-1$, такое, что $\varphi$ представима многочленом степени $n$ от $m$ переменных над $R$. (Степенью нулевого многочлена считаем $-1$.) Пусть также $\deg_\mathrm{RM}\varphi$ обозначает наименьшее число $n\ge-1$, такое, что $\partial_{v_1}\dots\partial_{v_{n+1}}\varphi=0$ для всех $v_1,\dots,v_{n+1}\in R^m$. Здесь $(\partial_v\psi)(x)=\psi(x+v)-\psi(x)$ для любых $v,x\in R^m$ и любой функции $\psi\colon R^m\to R$. Если такого числа $n$ не существует, то полагаем соответственно $\deg_\Pi\varphi=\infty$ или $\deg_\mathrm{RM}\varphi=\infty$. В работе рассматривается проблема характеризации класса $\mathfrak D$ всех ассоциативных коммутативных колец $R$, таких, что эти степени совпадают для функций над $R$, т.е. $\deg_\Pi\varphi=\deg_\mathrm{RM}\varphi$ для всех $m\ge0$ и всех функций $\varphi\colon R^m\to R$. Проблема решается в случае, когда аддитивная группа $\mathcal R$ кольца $R$ принадлежит некоторым широким классам абелевых групп. Основные результаты: 1) если $\mathcal R$ периодична или конечно порождена, то $R\in\mathfrak D$ тогда и только тогда, когда $R\cong\mathbb Z/d\mathbb Z$ для некоторого свободного от квадратов числа $d\ge1$; 2) если $\mathcal R$ не редуцирована, то $R\in\mathfrak D$ тогда и только тогда, когда $R\cong(\mathbb Z/d\mathbb Z)\oplus\mathbb Q$ для некоторого свободного от квадратов числа $d\ge1$; 3) если $\mathcal R$ является прямой суммой подгрупп ранга $1$, то $R\in\mathfrak D$ тогда и только тогда, когда $R\cong\mathbb Z/d\mathbb Z$ или $R\cong(\mathbb Z/d\mathbb Z)\oplus\mathbb Q$ для некоторого свободного от квадратов числа $d\ge1$; 4) если $\mathcal R$ редуцирована и копериодична, то $R\in\mathfrak D$ тогда и только тогда, когда $R\cong\prod_{p\in P}(\mathbb Z/p\mathbb Z)$ для некоторого множества $P$ простых чисел. Доказательство этих результатов основано на том факте, что любое кольцо из $\mathfrak D$ является $E$-кольцом.