Дискретная замкнутая одночастичная цепочка контуров

Рассматривается дискретная динамическая система, называемая замкнутой цепочкой контуров, которая принадлежит классу контурных сетей, введённому А. П. Буслаевым. Замкнутая цепочка содержит $N$ контуров, на каждом из которых имеется $2m$ ячеек и одна частица. Контур имеет общую точку, называемую узлом, с каждым из двух соседних контуров слева и справа. Узлы делят контур на две равные части. В каждый момент $t=0,1,2,\dots$ частица перемещается на одну ячейку в заданном направлении, если нет задержек. Если две частицы стремятся пересечь один и тот же узел, то возникает задержка. В этом случае перемещается только частица контура, расположенного слева от узла. Вводится величина потенциальной задержки частицы, зависящая от времени и принимающая значения $0$ или $1$. При $t\ge m$ равенство этой величины $1$ означает, что время до задержки частицы не превышает $m$. Сумма потенциальных задержек всех частиц называется потенциалом задержек. Начиная с некоторого момента времени, состояния системы периодически повторяются (предельные циклы). Отношение числа перемещений частицы к периоду цикла называется средней скоростью частицы. Доказаны следующие теоремы: 1) Потенциал задержек является невозрастающей функцией от времени, причём на предельном цикле значение потенциала задержек не изменяется и равно неотрицательному целому числу не больше $2N/3$. 2) Если средняя скорость частиц на предельном цикле меньше $1$, то период цикла (возможно, не являющийся наименьшим) равен $(m+1)N$. 3) Средняя скорость частиц равна $v=1-{H}/((m+1)N)$, где $H$  — потенциал задержек на предельном цикле. 4) Для любого $m$ существует $N$, такое, что существует предельный цикл с потенциалом задержек $H>0$ и, следовательно, со средней скоростью $v<1$.