Вычислительные методы в дискретной математике
О свойствах максимального элемента матрицы вероятностей переходов разностей биективного отображения относительно различных групповых операций
В. В. Власова,
М. А. Пудовкина Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
Аннотация:
Рассматриваются конечные группы
$(G_1,\otimes)$,
$(G_2, \odot)$ с бинарными операциями
$ \otimes$ и
$\odot$. На практике
$G_1,G_2$ обычно равны аддитивной группе
$(V_m, \oplus)$ $m$-мерного векторного пространства
$V_m$ над полем
$\mathrm{GF}(2)$ или аддитивной группе
$(\mathbb{Z}_{2^m}, \boxplus)$ кольца вычетов
$\mathbb{Z}_{2^m}$. Среди неабелевых групп порядка
$2^m$ аддитивной группе
$(\mathbb{Z}_{2^m}, \boxplus)$ кольца вычетов в определённом смысле ближе всего группы, содержащие циклическую подгруппу индекса
$2$. Такими группами являются группа диэдра
$(D_{2^{(m-1)}}, \diamond)$ и обобщённая группа кватернионов
$(Q_{2^m}, \boxtimes)$.
В разностном методе и его обобщениях биективному отображению ставится в соответствие матрица вероятностей переходов разностей. В работе для всех $\otimes, \odot \in \{\oplus, \boxplus, \boxtimes, \diamond \}$ экспериментально исследуется случайная величина
${q^{( \otimes , \odot )}}$, равная
$|G_1|{p^{( \otimes , \odot )}}$, где
${p^{( \otimes , \odot )}}$ — наибольший элемент матрицы вероятностей переходов разностей случайного биективного отображения
$s: G_1 \to G_2$.
Ключевые слова:
матрица вероятностей переходов разностей, разностно
$d$-равномерные отображения,
$S$-боксы, обобщённая группа кватернионов, группа диэдра.
УДК:
519.7
DOI:
10.17223/2226308X/12/57