Использование группы автоморфизмов для построения максимально рассеивающих матриц

Зададим действие $S_n \times S_n$ на множестве квадратных матриц порядка $n$ над $\mathbb{F}_{2^r}$: $A^{(g_1,g_2)} = \left(a_{g_1(i), g_2(j)}\right)$ для $A \in (\mathbb{F}_{2^r})_{n,n}$, $(g_1,g_2) \in S_n \times S_n$. Группой автоморфизмов $\mathrm{Aut}(A)$ матрицы $A$ назовём множество всех таких $(g_1,g_2) \in S_n \times S_n$, что ${A^{(g_1,g_2)} = A}$. Получено описание группы автоморфизмов максимально рассеивающих (МР-, MDS-) матриц. Показано, что $\mathrm{Aut}(A) = \{(g,\sigma(g)): g\in G\}$, $G < S_n$, $\sigma$ — сопряжение в $S_n$. Если $G$ — транзитивная группа, то либо $G$ — регулярная группа, либо $n$ чётное и $G$ — группа Фробениуса, являющаяся полупрямым произведением регулярной абелевой группы и её автоморфизма порядка два. Если $G$ — интранзитивная группа, то ограничения её действия на орбиты изоморфны и являются либо регулярными группами, либо группой Фробениуса. Экспериментально показано, что в классах матриц с большей группой автоморфизмов доля МР-матриц выше. Для увеличения эффективности реализации предпочтительнее выбирать матрицы с меньшим числом различных элементов и с большим числом единиц. В классах матриц с нетривиальной группой автоморфизмов построены МР-матрицы порядка $8$ над $\mathbb{F}_{2^8}$ с $24$ единицами и $6$ различными элементами, а также с $15$ единицами и $5$ различными элементами. Эти результаты усиливают результаты P. Judon и S. Vaudenay и аналогичны результатам K. Gupta, S. Pandey, I. Ray.