On finite semi-$\pi$-special groups

Конечная группа $G$ называется $\pi$-специальной, если $G=O_{p_1}(G)\times\dots\times O_{p_n}(G)\times O_{\pi'}(G)$, где $\pi=\{p_1,\dots, p_n\}$. Мы говорим, что конечная группа $G$ является полу-$\pi$-специальной, если нормализатор любой ненормальной $\pi$-специальной подгруппы группы $G$ является $\pi$-специальной. Доказано, что если $G$ не является $\pi$-специальной группой, но $N_G(A)$ является $\pi$-специальным для каждой подгруппы $A$ в $G$ такой, что $A$ является либо $\pi'$-группой, либо $p$-группой для некоторой $p\in\pi$, тогда справедливы следующие утверждения: (i) $G/F(G)$ является $\pi$-специальной группой. Следовательно, $G$ имеет холлову $\pi'$-подгруппу $H$ и разрешимую холлову $\pi$-подгруппу $E$. (ii) Если $G$ не является $p$-замкнутой для каждого $p\in\pi$, то: (1) $H$ нормальна в $G$ и $E$ нильпотентна. (2) $O_{p_1}(G)\times\dots\times O_{p_n}(G)\times H$ является максимальной $\pi$-специальной подгруппой в $G$ и каждая минимальная нормальная подгруппа группы $G$ содержится в $F(G)$.