Продольные колебания стержня с переменным сечением

Стержни с переменным сечением находят применение во многих деталях и механизмах. Например, конические стержни широко применяются в ударных механизмах. Прочность таких деталей напрямую зависит от собственных частот продольных колебаний. В настоящей работе представлен метод, позволяющий численно найти собственные частоты продольных колебаний упругого стержня с переменным сечением. Данный метод основан на представлении площади сечения в виде экспоненциальной функции от полинома степени $n$. На основе такого представления удалось составить задачу Штурма–Лиувилля с граничными условиями третьего рода. Линейно независимые функции общего решения имеют вид степенного ряда по переменным $x4 и $\lambda$, вследствие чего порядок характеристического уравнения зависит от выбора количество членов ряда. Приведенный подход отличается от работ других авторов как по постановке, так и методом решения. В работе рассмотрен стержень с жестко закрепленным левым концом, закрепление на правом конце может быть либо свободным, либо упругим или жестким. Приведены первые три собственные частоты для различных профилей сечения. Из анализа численных результатов следует, что у жестко закрепленного стержня с утончением в средней части первая собственная частота заметно выше, чем у конического стержня. Показано, что с увеличением жесткости закрепления на правом конце собственные частоты растут для всех профилей сечения. Результаты исследования могут найти применение для решения обратных задач по восстановлению профиля сечения по конечному набору собственных частот.