Нелокальное решение задачи теплопроводности для стержня

Рассматривается нестационарная задача теплопроводности для стержня. Получено классическое уравнение теплопроводности, основанное на предположении о дифференцируемости температуры по времени и координате. Построено решение модельной задачи с граничными условиями второго рода, определяющее распределение температуры в теплоизолированном стержне по его длине и времени. Установлено, что для классической постановки задачи скорость изменения температуры в начальный момент времени является сингулярной и условие дифференцируемости температуры по времени не выполняется. Предлагается модифицированная форма уравнения теплопроводности, основанная на нелокальном определении температуры как функции, зависящей от времени. В отличие от традиционного определения температуры эта функция не является значением температуры в фиксированный момент времени, а представляет собой среднее значение на конечном временном интервале, называемое нелокальной температурой. В результате применения такого подхода уравнение теплопроводности сохраняет классическую форму, но содержит не традиционно используемую, а нелокальную температуру. Традиционно температура определяется в результате решения уравнения Гельмгольца, включающего неизвестный временной интервал, по которому проводится осреднение температуры и который определяется экспериментально. Проведено сравнение классического и нелокального решений с экспериментальными данными. Обсуждается неклассический закон теплопроводности Максвелла–Каттанео, предполагающий конечную скорость распространения температуры по времени.