Достаточные условия монотонности вероятности необнаружения ошибки при больших вероятностях ошибки в канале

Одной из главных характеристик линейного кода, обнаруживающего ошибки в симметричном канале без памяти, является вероятность необнаружения ошибки. Это функция от вероятности ошибки на символ в канале, зависящая от основных параметров кода и его распределения весов. Однако распределение весов известно лишь для относительно немногих кодов, поскольку его вычисление является NP-трудной задачей. Поэтому было бы полезно иметь критерии правильных и хороших кодов, обнаруживающих ошибки, в которых не участвовало бы распределение весов. В настоящей статье даны два таких критерия. Показано, что двоичный линейный код $C$ длины $n$ и двойственный код $C^\perp$ с минимальным расстоянием $d^\perp$ являются правильными для обнаружения ошибок, если $d^\perp\geqslant\lfloor n/2\rfloor+1$, и что $C$ является правильным в интервале $[(n+1-2d^\perp)/(n-d^\perp),1/2]$, если $\lceil n/3\rceil+1\leqslant d^\perp\leqslant\lfloor n/2\rfloor$. Также приведены примеры, в основном грайсмеровых кодов и двойственных к ним, для которых эти условия выполнены.