Совершенные арифметические $AN$-коды, исправляющие одиночные ошибки

Получены необходимые и достаточные условия существования совершенных $r$-ичных $AN$-кодов, исправляющих одиночные ошибки. Описаны все совершенные троичные $AN$-коды. Для некоторых $r$ доказано несуществование совершенных $AN$-кодов.