Квазисовершенные линейные двоичные коды с расстоянием 4 и полные шапки в проективной геометрии

Доказано, что если линейный двоичный код с расстоянием $d=4$ является квазисовершенным (т.е. имеет радус покрытия 2) и длина кода $N\ge 2^{r-2}+2$, где $г$ – число проверочных символов, то проверочная матрица кода симметрична в следующем смысле: столбцы матрицы можно разбить на $N/2$ пар так, что сумма столбцов в каждой паре одна и та же. Как следствие, получены все возможные значения длины $N$ двоичного линейного квазисовершенного кода с $d=4$ в диапазоне $N\ge 2^{r-2}+1$, а для $N>2^{r-2}+2^{r-6}$ построены все такие неэквивалентные коды. Результаты перенесены на полные шапки (complete caps) в проективной геометрии $PG(r-1,2)$.