Обзор методов экономико-математического моделирования, основанных на принципах эконофизики. Часть 2

Дается обзор теоретических и прикладных результатов, полученных в рамках научного направления по эконофизике на кафедре информационных систем и математических методов в экономике.
В первой части дано понятие финансового пузыря и методы его поиска. В начале статьи дано развитие эконофизики, поэтому эконофизика, используя как образец исследования физиков, должна начинать свои исследования не с верхних этажей экономического здания (в виде финансовых рынков, распределения доходности финансовых активов и т.п.), а с ее фундаментальных оснований или, говоря словами физиков, с элементарных экономических объектов и форм их движения (труда, его производительности и т.д). Только таким образом эконофизика может обрести свой предмет исследования и стать «новой формой экономической теории». Дальше рассмотрены основные предпосылки моделей финансовых пузырей на рынке: принцип отсутствия арбитражных возможностей, существование рациональных агентов, модели, управляемой риском, и модели, управляемой ценой. Была предложена известная нелинейная LPPL-модель (Log Periodic Power Law Model). В работах В.О. Арбузова было предложено использовать процедуры выбора моделей, а именно были введены: основная селекция, фильтрация «стационарности», спектральный анализ. Результаты модели были представлены в работах Д. Сорнетт и его учеников.
Во второй части дается понятие перколяции и возможности ее применения в экономике. Будет рассмотрена математическая модель, предложенная J. P. Bouchaud, D. Stauffer и D. Sornette, воссоздающая поведение агента на рынке, и ее взаимодействие, геометрически описывающее фазовый переход второго рода. В данной модели цена актива за один временной интервал изменяется пропорционально разнице между спросом и предложением на этом рынке. Полученные результаты опубликованы в работах А. А. Бячковой, Б. И. Мызниковой и А. А. Симонова.

Существует два вида фазового перехода: переход первого и второго рода.При фазовом переходе первого рода скачкообразно изменяются самые главные, первичные экстенсивные параметры: удельный объем, количество запасенной внутренней энергии, концентрация компонентов и прочие показатели. Следует заметить, что имеется в виду скачкообразное изменение этих величин при изменении температуры, давления, а не скачкообразное изменение во времени. Наиболее распространенные примеры фазовых переходов первого рода: плавление и кристаллизация, испарение и конденсация.
При фазовом переходе второго рода плотность и внутренняя энергия не меняются. Скачок же испытывают их производные по температуре и давлению: теплоемкость, коэффициент теплового расширения или различные восприимчивости. Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества: она может полностью исчезнуть или понизиться. Для количественной характеристики симметрии при фазовом переходе второго рода вводится параметр порядка, пробегающий отличные от нуля значения в фазе с большей симметрией и тождественно равный нулю в неупорядоченной фазе.

Таким образом, перколяцию мы можем рассматривать как фазовый переход второго рода, по аналогии с переходом парамагнетиков в состояние ферромагнетиков. Порог перколяции, или критическая концентрация разделяет две фазы перколяционной решетки: в одной фазе существуют конечные кластеры, в другой фазе существует один бесконечный кластер.

Ключевой ситуацией для изучения является момент образования бесконечного кластера на перколяционной решетке, так как это означает крах рынка, когда подавляющая для данного рынка часть агентов имеют схожие мнения насчет своих действий по покупке или продаже актива. Основными характеристиками процесса являются пороговая вероятность наступления краха рынка, а также эмпирическая функция распределения изменения цены на данном рынке.