Об асимптотических свойствах функции Коши автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа

Исследуются вопросы устойчивости линейного автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа. В основе исследования лежит известное представление решения в явном виде с помощью интегрального оператора, ядром которого является функция Коши исследуемого уравнения. Показано, что определения устойчивости по Ляпунову, асимптотической и экспоненциальной устойчивости можно без потери общности формулировать в терминах соответствующих свойств функции Коши. Сделан вывод о зависимости устойчивости относительно начальных данных от того, какому функциональному пространству принадлежат начальные данные, и, как следствие, о необходимости указывать это пространство в определении устойчивости. Показано, что наряду с понятием асимптотической устойчивости требуется ввести более сильное свойство, которое получило название сильной асимптотической устойчивости.
Основное исследование посвящено устойчивости по начальной функции из пространств суммируемых функций. Особое внимание уделено изучению асимптотической и экспоненциальной устойчивости. Используются следующие известные свойства функции Коши уравнения нейтрального типа: эта функция является кусочно-непрерывной, а ее скачки определяются задачей Коши для линейного разностного уравнения. Установлено, что сильная асимптотическая устойчивость исследуемого уравнения при начальных данных из пространства $L_1$ равносильна экспоненциальной оценке функции Коши; более того, показано, что эти свойства равносильны экспоненциальной устойчивости по начальным данным из пространств $L_p$ для любого p от единицы до бесконечности включительно. При этом отмечено, что сильная асимптотическая устойчивость по начальным данным из пространства $L_p$ для $p$, больших единицы, может не совпадать с экспоненциальной устойчивостью.