Оценка числа слагаемых Центральной предельной теоремы

Исследуется задача оценки числа слагаемых случайных величин для суммарного нормального закона распределения или выборочной средней, имеющей нормальное распределение. Центральная предельная теорема позволяет решать многие сложные прикладные задачи, используя развитый математический аппарат нормального распределения вероятностей. В противном случае пришлось бы оперировать свертками распределений, которые в явном виде вычисляются в редких случаях.
Целью данной работы является теоретическая оценка числа слагаемых центральной предельной теоремы, необходимых для того, чтобы сумма или выборочная средняя имели нормальный закон распределения вероятностей. Доказаны две теоремы и два следствия из них. Для доказательства теорем использован метод характеристических функций. Первая теорема формулирует условия, при которых средняя выборочная независимых слагаемых будет иметь с заданной точностью нормальный закон распределения. Следствие из первой теоремы определяет нормальное распределение для суммы независимых случайных величин в условиях теоремы 1. Вторая теорема определяет условия нормального распределения для средней выборочной независимых случайных величин, математические ожидания которых попадают в один и тот же интервал, дисперсии также попадают в один и тот же интервал. Следствие из второй теоремы определяет нормальное распределение для суммы независимых случайных величин в условиях теоремы 2. По формульным соотношениям, доказанным в теореме 1, рассчитана таблица необходимого числа слагаемых в центральной предельной теореме для обеспечения заданной точности приближения распределения значений средней выборочной к нормальному закону распределения. Построен график данной зависимости. Зависимость хорошо аппроксимируется полиномом шестой степени.
Полученные в статье несложные с точки зрения проведения вычислений соотношения и доказанные теоремы позволяют управлять процессом тестирования для оценки знаний студентов. Они дают возможность определять число экспертов при принятии коллективных решений в экономике и системах организационного управления, проводить оптимальный выборочный контроль качества выпускаемой продукции, осуществлять проведение нужного количества наблюдений и обоснованную диагностику в медицине.