О классификации лоренцевых алгебр Каца–Муди

Рассматривается общая теория лоренцевых алгебр Каца–Муди, которая должна служить гиперболическим аналогом классических теорий конечномерных полупростых и аффинных алгебр Каца–Муди. Первые примеры лоренцевых алгебр Каца–Муди были найдены Борчердсом. Рассматриваются общие результаты конечности для множества лоренцевых алгебр Каца–Муди ранга $\geqslant 3$ и проблема их классификации. В качестве примера дается классификация лоренцевых алгебр Каца–Муди ранга три с гиперболической решеткой корней $S_t^*$, решеткой симметрии $L_t^*$ и группой симметрии $\widehat O^+(L_t)$, $t\in\mathbb N$, где
\begin{gather*} H=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}\right), \\ S_t=H\oplus\langle 2t\rangle=\left(\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&2t&0\\-1&0&0\end{smallmatrix}\right), \quad L_t=H\oplus S_t=\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&0&-1\\0&0&0&-1&0\\0&0&2t&0&0\\0&-1&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{smallmatrix}\right) \end{gather*}
и $\widehat O^+(L_t)=\{g\in O^+(L_t)\mid g$ тривиален на $L_t^*/L_t\}$ – расширенная парамодулярная группа. Вероятно, это первый пример классификации большого класса лоренцевых алгебр Каца–Муди.