Эта публикация цитируется в
5 статьях
Обзоры
Спектральные треугольники несамосопряженных операторов Хилла и Дирака
П. Б. Джаковa,
Б. С. Митягинb a Sabanci University, Orhanli, Tuzla, Istanbul, Turkey
b The Ohio State University,
Columbus, OH, USA
Аннотация:
Дан обзор результатов последних 10–12 лет о структуре спектров операторов Хилла–Шрёдингера и Дирака. Пусть
$L$ – оператор Хилла или одномерный оператор Дирака на отрезке
$[0,\pi]$. Если мы рассматриваем
$L$ с граничными условиями Дирихле или с периодическими и антипериодическими граничными условиями, то соответствующие спектры дискретны и для достаточно больших
$|n|$ (
$n\in \mathbb{Z}$) близки к
$n^2$ в случае Хилла и к
$n$ в случае Дирака; при этом мы имеем одно собственное значение Дирихле
$\mu_n$ и два периодических (если
$n$ четно) или антипериодических (если
$n$ нечетно) собственных значения
$\lambda_n^-$,
$\lambda_n^+$ (с учетом их кратности).
Мы даем асимптотические оценки спектральных зазоров
$\gamma_n=\lambda_n^+-\lambda_n^-$ и уклонений
$\delta_n=\mu_n-\lambda_n^+$ в терминах коэффициентов Фурье потенциала. Более того, для специальных потенциалов – тригонометрических многочленов – найденные асимптотики
$\gamma_n$ и
$\delta_n$ точны.
Библиография: 45 названий.
Ключевые слова:
оператор Хилла, одномерный оператор Дирака, периодические граничные условия, антипериодические граничные условия, граничные условия Дирихле.
УДК:
517.984
MSC: 47E05,
34L40,
34L10 Поступила в редакцию: 20.11.2019
DOI:
10.4213/rm9957