Теоретическое обоснование единого итерационного процесса совместной количественной оценки трудностей заданий и уровней подготовки студентов

Исследован итерационный процесс совместного оценивания уровней подготовки студентов и трудностей заданий диагностического средства по дихотомической матрице ответов $A=(a_{ij})$ размера $N\times M$, учитывающего вклад заданий разной трудности в получаемые оценки. Показано, что не для всякой матрицы $A$ существуют бесконечные итерационные последовательности, а в случае существования они не всегда сходятся. Получены широкие достаточные условия их сходимости, состоящие в том, что: 1) матрица $A$ содержит не менее трёх различных столбцов; 2) если расположить столбцы $A$ в порядке неубывания столбцовых сумм, то для любого положения вертикальной разграничительной линии между столбцами найдётся строка, в которой левее линии имеется хотя бы одна единица, а правее линии – хотя бы один ноль. Констатировано, что полученная по результатам реального тестирования матрица ответов $A$ практически достоверно удовлетворяет этим двум условиям. Изучены свойства таких матриц $A$. В частности, установлена равносильность вышеуказанных условий примитивности квадратной матрицы $B$ порядка $M$ с элементами $b_{ij}=\sum^N_{\ell=1}(1-a_{\ell i})a_{\ell j}$. Средствами матричного анализа доказано, что примитивность $B$ обеспечивает сходимость исследуемых итерационных последовательностей, а также независимость их пределов от выбора начального приближения. Оценена скорость сходимости этих последовательностей и найдены их пределы.