Циклические цепные экспоненты и степени с произвольными первыми показателями
А. П. Буланов Обнинский государственный технический университет атомной энергетики
Аннотация:
Цепная циклическая периода
$m$ экспонента
$$
f(z)=e^{\lambda\alpha_1ze^{\alpha_2ze^{\dots}}}=
\langle e^z;\lambda\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,\alpha_1,\dots\rangle
$$
с одним произвольным первым показателем
$\lambda\alpha_1$ при разложении в точке
$z=0$ в степенной ряд
$\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}H^{(n)}(f) z^n$ имеет форму вида
\begin{align*}
H^{(n)}(f)
&=\lambda\alpha_1\sum_{k_1+\dots+k_m=n}\frac{n!}{k_1!\dotsb k_m!}
(k_1\alpha_2)^{k_2}(k_2\alpha_3)^{k_3}
\\
&\qquad\times\dots\times(k_{m-1}\alpha_m)^{k_m}[(k_m+\lambda)\alpha_1]^{k_1-1}.
\end{align*}
Эта формула обобщается на любое количество произвольных первых показателей. Показывается, что решением системы дифференциальных уравнений первого порядка с рациональными правыми частями
в некоторых случаях являются циклические цепные экспоненты с первыми показателями, не являющимися элементами циклической последовательности $(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,
\alpha_1,\dots)$.
Библиография: 32 названия.
Ключевые слова:
цепная экспонента, циклическая экспонента, цепная степень, циклическая степень, показатель степени, последовательность.
УДК:
517.521.2+
517.537
MSC: 40A30,
30B99 Поступила в редакцию: 23.07.2008 и 15.07.2009
DOI:
10.4213/sm6395